Производная точки максимума и минимума. Возрастание, убывание и экстремумы функции

Приращения функции к приращению аргумента, который стремится к нулю. Для ее нахождения воспользуйтесь таблицей производных. Например, производная функции y = x3 будет равна y’ = x2.

Приравняйте данную производную к нулю (в данном случае x2=0).

Найдите значение переменной данного . Это будут те значения, при данная производная будет равна 0. Для этого подставьте в выражение произвольные цифры вместо x, при которых все выражение станет нулевым. Например:

2-2x2= 0
(1-x)(1+x) = 0
x1= 1, x2 = -1

Полученные значения нанесите на координатную прямую и высчитайте знак производной для каждого из полученных . На координатной прямой отмечаются точки, которые принимаются за начало отсчета. Чтобы высчитать значение на промежутках подставьте произвольные значения, подходящие по критериям. Например, для предыдущей функции до промежутка -1 можно выбрать значение -2. На от -1 до 1 можно выбрать 0, а для значений больше 1 выберите 2. Подставьте данные цифры в производную и выясните знак производной. В данном случае производная с x = -2 будет равна -0,24, т.е. отрицательно и на данном промежутке будет знак минус. Если x=0, то значение будет равно 2, а на данном промежутке ставится знак. Если x=1, то производная также будет равна -0,24 и ставится минус.

Если при прохождении через точку на координатной прямой производная меняет свой знак с минуса на плюс, то это точка минимума, а если с плюса на минус, то это точка максимума.

Видео по теме

Полезный совет

Для нахождения производной существуют онлайн-сервисы, которые подсчитывают нужные значения и выводят результат. На таких сайтах можно найти производную до 5 порядка.

Источники:

• Один из сервисов вычисления производных
• точку максимума функции

Точки максимума функции наряду с точками минимума называются точками экстремума. В этих точках функция меняет характер поведения. Экстремумы определяются на ограниченных числовых интервалах и всегда являются локальными.

Инструкция

Процесс нахождения локальных экстремумов называется функции и выполняется путем анализа первой и второй производной функции. Перед началом исследования убедитесь, что заданный интервал значений аргумента принадлежит к допустимым значениям. Например, для функции F=1/x значение аргумента х=0 недопустимо. Или для функции Y=tg(x) аргумент не может иметь значение х=90°.

Убедитесь, что функция Y дифференцируема на всем заданном отрезке. Найдите первую производную Y". Очевидно, что до достижения точки локального максимума функция возрастает, а при переходе через максимум функция становится убывающей. Первая производная по своему физическому смыслу характеризует скорость изменения функции. Пока функция возрастает, скорость этого процесса является величиной положительной. При переходе через локальный максимум функция начинает убывать, и скорость процесса изменения функции становится отрицательной. Переход скорости изменения функции через ноль происходит в точке локального максимума.

Например, функция Y=-x²+x+1 на отрезке от -1 до 1 имеет непрерывную производную Y"=-2x+1. При х=1/2 производная равна нулю, причем при переходе через эту точку производная меняет знак с «+» на «-». Вторая производная функции Y"=-2. Постройте по точкам график функции Y=-x²+x+1 и проверьте, является ли точка с абсциссой х=1/2 локальным максимумом на заданном отрезке числовой оси.

Во многих задачах требуется вычислить максимальное или минимальное значение квадратичной функции. Максимум или минимум можно найти, если исходная функция записана в стандартном виде: или через координаты вершины параболы: f (x) = a (x − h) 2 + k {\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k} . Более того, максимум или минимум любой квадратичной функции можно вычислить с помощью математических операций.

Шаги

Квадратичная функция записана в стандартном виде

Запишите функцию в стандартном виде. Квадратичная функция - это функция, уравнение которой включает переменную x 2 {\displaystyle x^{2}} . Уравнение может включать или не включать переменную x {\displaystyle x} . Если уравнение включает переменную с показателем степени больше 2, оно не описывает квадратичную функцию. Если нужно, приведите подобные члены и переставьте их, чтобы записать функцию в стандартном виде.

• Например, дана функция f (x) = 3 x + 2 x − x 2 + 3 x 2 + 4 {\displaystyle f(x)=3x+2x-x^{2}+3x^{2}+4} . Сложите члены с переменной x 2 {\displaystyle x^{2}} и члены с переменной x {\displaystyle x} , чтобы записать уравнение в стандартном виде:
  • f (x) = 2 x 2 + 5 x + 4 {\displaystyle f(x)=2x^{2}+5x+4}

1. График квадратичной функции представляет собой параболу. Ветви параболы направлены вверх или вниз. Если коэффициент a {\displaystyle a} при переменной x 2 {\displaystyle x^{2}} a {\displaystyle a}

   • f (x) = 2 x 2 + 4 x − 6 {\displaystyle f(x)=2x^{2}+4x-6} . Здесь a = 2 {\displaystyle a=2}
   • f (x) = − 3 x 2 + 2 x + 8 {\displaystyle f(x)=-3x^{2}+2x+8} . Здесь , поэтому парабола направлена вниз.
   • f (x) = x 2 + 6 {\displaystyle f(x)=x^{2}+6} . Здесь a = 1 {\displaystyle a=1} , поэтому парабола направлена вверх.
   • Если парабола направлена вверх, нужно искать ее минимум. Если парабола направлена вниз, ищите ее максимум.

2. Вычислите -b/2a. Значение − b 2 a {\displaystyle -{\frac {b}{2a}}} – это координата x {\displaystyle x} вершины параболы. Если квадратичная функция записывается в стандартном виде a x 2 + b x + c {\displaystyle ax^{2}+bx+c} , воспользуйтесь коэффициентами при x {\displaystyle x} и x 2 {\displaystyle x^{2}} следующим образом:

   • В функции коэффициенты a = 1 {\displaystyle a=1} и b = 10 {\displaystyle b=10}
     • x = − 10 (2) (1) {\displaystyle x=-{\frac {10}{(2)(1)}}}
     • x = − 10 2 {\displaystyle x=-{\frac {10}{2}}}
   • В качестве второго примера рассмотрим функцию . Здесь a = − 3 {\displaystyle a=-3} и b = 6 {\displaystyle b=6} . Поэтому координату «x» вершины параболы вычислите так:
     • x = − b 2 a {\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
     • x = − 6 (2) (− 3) {\displaystyle x=-{\frac {6}{(2)(-3)}}}
     • x = − 6 − 6 {\displaystyle x=-{\frac {6}{-6}}}
     • x = − (− 1) {\displaystyle x=-(-1)}
     • x = 1 {\displaystyle x=1}

3. Найдите соответствующее значение f(x). Подставьте найденное значение «x» в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение f(x). Так вы найдете минимум или максимум функции.

   • В первом примере f (x) = x 2 + 10 x − 1 {\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1} вы вычислили, что координата «х» вершины параболы равна x = − 5 {\displaystyle x=-5} . В исходной функции вместо x {\displaystyle x} подставьте − 5 {\displaystyle -5}
     • f (x) = x 2 + 10 x − 1 {\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1}
     • f (x) = (− 5) 2 + 10 (− 5) − 1 {\displaystyle f(x)=(-5)^{2}+10(-5)-1}
     • f (x) = 25 − 50 − 1 {\displaystyle f(x)=25-50-1}
     • f (x) = − 26 {\displaystyle f(x)=-26}
   • Во втором примере f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 {\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4} вы нашли, что координата «х» вершины параболы равна x = 1 {\displaystyle x=1} . В исходной функции вместо x {\displaystyle x} подставьте 1 {\displaystyle 1} , чтобы найти ее максимальное значение:
     • f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 {\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4}
     • f (x) = − 3 (1) 2 + 6 (1) − 4 {\displaystyle f(x)=-3(1)^{2}+6(1)-4}
     • f (x) = − 3 + 6 − 4 {\displaystyle f(x)=-3+6-4}
     • f (x) = − 1 {\displaystyle f(x)=-1}

4. Запишите ответ. Перечитайте условие задачи. Если нужно найти координаты вершины параболы, в ответе запишите оба значения x {\displaystyle x} и y {\displaystyle y} (или f (x) {\displaystyle f(x)} ). Если необходимо вычислить максимум или минимум функции, в ответе запишите только значение y {\displaystyle y} (или f (x) {\displaystyle f(x)} ). Еще раз посмотрите на знак коэффициента a {\displaystyle a} , чтобы проверить, что вы вычислили: максимум или минимум.

   • В первом примере f (x) = x 2 + 10 x − 1 {\displaystyle f(x)=x^{2}+10x-1} значение a {\displaystyle a} положительное, поэтому вы вычислили минимум. Вершина параболы лежит в точке с координатами (− 5 , − 26) {\displaystyle (-5,-26)} , а минимальное значение функции равно − 26 {\displaystyle -26} .
   • Во втором примере f (x) = − 3 x 2 + 6 x − 4 {\displaystyle f(x)=-3x^{2}+6x-4} значение a {\displaystyle a} отрицательное, поэтому вы нашли максимум. Вершина параболы лежит в точке с координатами (1 , − 1) {\displaystyle (1,-1)} , а максимальное значение функции равно − 1 {\displaystyle -1} .

5. Определите направление параболы. Для этого посмотрите на знак коэффициента a {\displaystyle a} . Если коэффициент a {\displaystyle a} положительный, парабола направлена вверх. Если коэффициент a {\displaystyle a} отрицательный, парабола направлена вниз. Например:

   • . Здесь a = 2 {\displaystyle a=2} , то есть коэффициент положительный, поэтому парабола направлена вверх.
   • . Здесь a = − 3 {\displaystyle a=-3} , то есть коэффициент отрицательный, поэтому парабола направлена вниз.
   • Если парабола направлена вверх, нужно вычислить минимальное значение функции. Если парабола направлена вниз, необходимо найти максимальное значение функции.

6. Найдите минимальное или максимальное значение функции. Если функция записана через координаты вершины параболы, минимум или максимум равен значению коэффициента k {\displaystyle k} . В приведенных выше примерах:

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 {\displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4} . Здесь k = − 4 {\displaystyle k=-4} . Это минимальное значение функции, потому что парабола направлена вверх.
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 {\displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2} . Здесь k = 2 {\displaystyle k=2} . Это максимальное значение функции, потому что парабола направлена вниз.

7. Найдите координаты вершины параболы. Если в задаче требуется найти вершину параболы, ее координаты равны (h , k) {\displaystyle (h,k)} . Обратите внимание, когда квадратичная функция записана через координаты вершины параболы, в скобки должна быть заключена операция вычитания (x − h) {\displaystyle (x-h)} , поэтому значение h {\displaystyle h} берется с противоположным знаком.

   • f (x) = 2 (x + 1) 2 − 4 {\displaystyle f(x)=2(x+1)^{2}-4} . Здесь в скобки заключена операция сложения (x+1), которую можно переписать так: (x-(-1)). Таким образом, h = − 1 {\displaystyle h=-1} . Поэтому координаты вершины параболы этой функции равны (− 1 , − 4) {\displaystyle (-1,-4)} .
   • f (x) = − 3 (x − 2) 2 + 2 {\displaystyle f(x)=-3(x-2)^{2}+2} . Здесь в скобках находится выражение (x-2). Следовательно, h = 2 {\displaystyle h=2} . Координаты вершины равны (2,2).

Как вычислить минимум или максимум с помощью математических операций

1. Сначала рассмотрим стандартный вид уравнения. Запишите квадратичную функцию в стандартном виде: f (x) = a x 2 + b x + c {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} . Если нужно, приведите подобные члены и переставьте их, чтобы получить стандартное уравнение.

   • Например: .

2. Найдите первую производную. Первая производная квадратичной функции, которая записана в стандартном виде, равна f ′ (x) = 2 a x + b {\displaystyle f^{\prime }(x)=2ax+b} .

   • f (x) = 2 x 2 − 4 x + 1 {\displaystyle f(x)=2x^{2}-4x+1} . Первая производная этой функции вычисляется следующим образом:
     • f ′ (x) = 4 x − 4 {\displaystyle f^{\prime }(x)=4x-4}

3. Производную приравняйте к нулю. Напомним, что производная функции равна угловому коэффициенту функции в определенной точке. В минимуме или максимуме угловой коэффициент равен нулю. Поэтому, чтобы найти минимальное или максимальное значение функции, производную нужно приравнять к нулю. В нашем примере.

Здравствуйте, Дорогие друзья! Продолжаем рассматривать задания связанные с исследованием функций. Рекомендую , необходимую для решения задач на нахождение максимального (минимального) значения функции и на нахождение точек максимума (минимума) функции.

Задачи с логарифмами на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции мы . В этой статье рассмотрим три задачи, в которых стоит вопрос нахождения точек максимума (минимума) функций, при чём в заданной функции присутствует натуральный логарифм.

Теоретический момент:

По определению логарифма – выражение стоящее под знаком логарифма должно быть больше нуля. *Это обязательно нужно учитывать не только в данных задачах, но и при решении уравнений и неравенств содержащих логарифм.

Алгоритм нахождения точек максимума (минимума) функции:

1. Вычисляем производную функции.

2. Приравниваем её к нулю, решаем уравнение.

3. Полученные корни отмечаем на числовой прямой. *Также на ней отмечаем точки, в которых производная не существует. Получим интервалы, на которых функция возрастает или убывает.

4. Определяем знаки производной на этих интервалах (подставляя произвольные значения из них в производную).

5. Делаем вывод.

Найдите точку максимума функции у = ln (х–11)–5х+2

Сразу запишем, что х–11>0 (по определению логарифма), то есть х > 11.

Рассматривать функцию будем на интервале (11;∞).

Найдем нули производной:

Точка х = 11 не входит в область определения функции и в ней производная не существует. Отмечаем на числовой оси две точки 11 и 11,2. Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из интервалов (11;11,2) и (11,2;+∞) в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:

Таким образом, в точке х=11,2 производная функции меняет знак с положительного на отрицательный, значит это искомая точка максимума.

Ответ: 11,2

Решите самостоятельно:

Найдите точку максимума функции у=ln (х+5)–2х+9.

Найдите точку минимума функции у=4х– ln (х+5)+8

Сразу запишем, что х+5>0 (по свойству логарифма), то есть х>–5.

Рассматривать функцию будем на интервале (– 5;+∞).

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Точка х = –5 не входит в область определения функции и в ней производная не существует. Отмечаем на числовой оси две точки –5 и –4,75 . Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из интервалов (–5;–4,75) и (–4,75;+∞) в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:

Таким образом, в точке х= –4,75 производная функции меняет знак с отрицательного на положительный, значит это искомая точка минимума.

Ответ: – 4,75

Решите самостоятельно:

Найдите точку минимума функции у=2х–ln (х+3)+7.

Найдите точку максимума функции у = х 2 –34х+140lnх–10

По свойству логарифма выражение, стоящее под его знаком больше нуля, то есть х > 0.

Функцию будем рассматривать на интервале (0; +∞).

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Решая квадратное уравнение, получим: D = 9 х 1 = 10 х 2 = 7.

Точка х = 0 не входит в область определения функции и в ней производная не существует. Отмечаем на числовой оси три точки 0, 7 и 10 .

Ось ох разбивается на интервалы: (0;7), (7;10), (10; +∞).

Определим знаки производной функции, подставляя произвольные значения из полученных интервалов в найденную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:

На этом всё. Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

77419.Найдите точку максимума функции у=х 3 –48х+17

Найдем нули производной:

Получим корни:

Определим знаки производной функции подставляя значения из интервалов в полученную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:

Получили, что в точке –4 производная меняет свой знак в положительного на отрицательный. Таким образом, точка х=–4 это искомая точка максимума.

Ответ: –4

77423. Найдите точку максимума функции у=х 3 –3х 2 +2

Найдём производную заданной функции:

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

В точке х=0 производная меняет знак с положительного на отрицательный, значит это есть точка максимума.

77427. Найдите точку максимума функции у=х 3 +2х 2 +х+3

Найдём производную заданной функции:

При равняем производную к нулю и решим уравнение:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке интервалы возрастания и убывания функции подставляя значения из каждого интервала в выражение производной:

В точке х=–1 производная меняет знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.

Ответ: –1

77431. Найдите точку максимума функции у=х 3 –5х 2 +7х–5

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

3х 2 – 10х + 7 = 0

3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1< 0

3∙3 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0

В точке х = 1 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.

77435. Найдите точку максимума функции у=7+12х–х 3

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

12 – 3х 2 = 0

Решая квадратное уравнение получим:

*Это точки возможного максимума (минимума) функции.

Построим числовую ось, отметим нули производной. Определим знаки производной, подставляя произвольное значение из каждого интервала в выражение производной функции и схематично изобразим возрастание и убывание на интервалах:

12 – 3∙(–3) 2 = –15 < 0

12 – 3∙0 2 = 12 > 0

12 – 3∙3 2 = –15 < 0

В точке х = 2 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.

*Для этой же функции точкой минимума является точка х = – 2.

77439. Найдите точку максимума функции у=9х 2 –х 3

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

18х –3х 2 = 0

3х(6 – х) = 0

Решая уравнение получим:

*Это точки возможного максимума (минимума) функции.

Построим числовую ось, отметим нули производной. Определим знаки производной, подставляя произвольное значение из каждого интервала в выражение производной функции и схематично изобразим возрастание и убывание на интервалах:

18 (–1) –3 (–1) 2 = –21< 0

18∙1 –3∙1 2 = 15 > 0

18∙7 –3∙7 2 = –1 < 0

В точке х=6 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.

*Для этой же функции точкой минимума является точка х = 0.

Значения функции и точки максимума и минимума

Наибольшее значение функции

Наменьшее значение функции

Как говорил крестный отец: «Ничего личного». Только производные!

12 задание по статистике считается достаточно трудным, а все потому, что ребята не прочитали эту статью (joke). В большинстве случаев виной всему невнимательность.

12 задание бывает двух видов:

1. Найти точку максимума / минимума (просят найти значения «x»).
2. Найти наибольшее / наименьшее значение функции (просят найти значения «y»).

Как же действовать в этих случаях?

Найти точку максимума / минимума

1. Приравнять ее к нулю.
2. Найденный или найденные «х» и будут являться точками минимума или максимума.
3. Определить с помощью метода интервалов знаки и выбрать, какая точка нужна в задании.

Задания с ЕГЭ:

Найдите точку максимума функции

• Берем производную:

Все верно, сначала функция возрастает, затем убывает - это точка максимума!
Ответ: −15

Найдите точку минимума функции

• Преобразуем и возьмем производную:

• Отлично! Сначала функция убывает, затем возрасает - это точка минимума!

Ответ: −2

Найти наибольшее / наименьшее значение функции

1. Взять производную от предложенной функции.
   
2. Приравнять ее к нулю.
   
3. Найденный «х» и будет являться точкой минимума или максимума.
   
4. Определить с помощью метода интервала знаки и выбрать, какая точка нужна в задании.
5. В таких заданиях всегда задается промежуток: иксы, найденные в пункте 3, должны входить в данный промежуток.
6. Подставить в первоначальное уравнение полученную точку максимума или минимума, получаем наибольшее или наименьшее значение функции.

Задания с ЕГЭ:

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [−4; −1]

Ответ: −6

Найдите наибольшее значение функции на отрезке

• Наибольшее значение функции равно «11» при точке максимума (на этом отрезке) «0».

Ответ: 11

Выводы:

1. 70% ошибок заключается в том, что ребята не запоминают, что в ответ на наибольшее/наименьшее значение функции нужно написать «y» , а на точку максимума/минимума написать «х».
2. Нет решения у производной при нахождении значений функции? Не беда, подставляй крайние точки промежутка!
3. Ответ всегда может быть записан в виде числа или десятичной дроби. Нет? Тогда перерешивай пример.
4. В большинстве заданий будет получаться одна точка и наша лень проверять максимум или минимум будет оправдана. Получили одну точку - можно смело писать в ответ.
5. А вот с поиском значения функции так поступать не стоит! Проверяйте, что это нужная точка, иначе крайние значения промежутка могут оказаться больше или меньше.